стр.5_АРХИТЕКТУРА и МАТЕМАТИКА ******* (сопоставление и анализ)

стр.5_АРХИТЕКТУРА и МАТЕМАТИКА ******* (сопоставление и анализ)

Иллюстрации по теме МАТЕМАТИКА И АРХИТЕКТУРА

Изложение статьи: А.В.СТЕПАНОВ, А.И.ФИРСОВ. Архитектура и математика. Сопоставление и анализ. Сб._Архитектурная наука в МАРХИ, информационный вып. 3, стр. 22 – 30, М., 1999.

____Речь пойдет об отношении друг к другу двух дисциплин, казалось бы, совершенно различной природы: архитектуры и математики, о влиянии их друг на друга и о возможности анализа каждой из них методами другой. Это делается для того, чтобы архитекторы перестали смотреть на математику, как на нечто абстрактное, далекое и от жизни, и от архитектуры. И, чтобы они постарались понять, что, в сущности, любой архитектор, занимается тем же, что и математик, но в своей специфической, архитектурной, области.
____Математическая Энциклопедия определяет математику, как науку «о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира» /1/. И с этим нельзя не согласиться. Но формулировка эта явно неполна и отражает лишь некоторую, хотя для человечества и важную часть понятия «математика». Так, здесь не говорится о логических отношениях, без которых невозможно построение любого раздела математики. Определение не отражает и таких свойств математики, как композиционная целостность (в общем и частном), идеальность всех построений и выводов математической теории, её универсальность (построения, полученные в одной области математики, верны и в других её областях), неисчерпаемость (в бесконечно малом, и в бесконечно большом), корректность всех построений – и многое другое.
_____Более разумным, нам представляется оставить понятие «математика», также, как и понятие «бытие», специфическим отражением которого и является математика, – без определения. Неопределяемые понятия лежат в основе всех математических, (и не только математических) построений. Попробуйте, например, определть понятия времени, пространства, бытия. Поэтому, очевидно, что и понятие, «математика», не может быть выражено в терминах рационального мышления. Но, хотя определение этого понятия отсутствует, мы можем смотреть на математику, как на некий универсальный, всё время пополняемый набор понятий, символов и процедур с помощью которого, по определенным правилам, можно построить мысленную, идеальную, модель некоторой части реального мира или протекающих в нем отдельных процессов.
_____Об архитектуре. Исходя из социального заказа и функциональных задач, стоящих перед ней, можно сказать, что в самом широком смысле архитектура занимается проектированием и компоновкой пространства (и его частей), с целью формирования благоприятной среды обитания человека, отдельных групп населения и всего человечества в целом.

АРХИТЕКТОНИКА МАТЕМАТИКИ
___I. Остановимся подробнее на строении математики, на определении ее основ, на её архитектонике и отношении к действительности, в частности, – к архитектуре. Построение каждого раздела начинается с того, что создается некоторый перечень, так называемых, «неопределяемых» понятий и правил, по которым эти объекты входят между собой в определенные отношения. Из них образовываю новые объекты и конструкции, которые, однако, являются элементами единой общей системы, имеющей иерархическую структуру.
_____Покажем это на примере геометрии. Неопределяемыми понятиями в ней являются: точка, прямая, плоскость, расстояние между двумя точками. Эти идеальные понятия служат абстрактными, образами реальных вещей. Например, под точкой в одном случае может пониматься атом, в другом – отдельно стоящее здание или планета. Отрезок прямой может быть образом палки, светового луча и т.п. Далее вводятся также, строго говоря, «ниоткуда не следующие», однако отражающие реальность, аксиомы геометрии. Например: через две точки можно провести только одну прямую и т.п. Из точек и отрезков строятся фигуры на плоскости, например, треугольники, трапеции, параллелограммы, изучаются их свойства, которые формулируются в виде предложений или теорем.
___Аналогично производятся построения в трехмерном пространстве: – плоскости, двугранные углы, многогранники, круглые тела и т.п., что позволяет, решать уже пространственные задачи. Более того, по аналогии с пространствами «низких» размерностей, которые мы можем представить и ощутить (одномерное пространство – прямая, двухмерное – плоскость, трехмерное пространство), вводятся, и пространства высших размерностей – четырёхмерные, пятимерные и т.д. Реальный аналог этих пространств отсутствует, но эти объекты бывают очень удобны и полезны, например, при построении математических моделей для процессов, зависящих от многих параметров.

___II. То же происходит и при построении других разделов математики, например, теории множеств, математической логики, теории вероятностей и др., только в качестве неопределяемых понятий выступают уже другие объекты, которые входят между собой в отношения по определенным для данной дисциплины правилам. Так, в теории множеств такими неопределяемыми понятиями являются «множество» и «элемент множества», а отношением является принадлежность элемента данному множеству. Т.о., можно сказать, что при создании любой математической дисциплины, после введения первичных понятий и отношений между ними, поэтапно строится некая умозрительная конструкция, причем на каждом этапе построения, в зависимости от целей исследования, можно вводить любые объекты и правила их взаимодействия, при условии, что они не противоречат правилам, уже введенным на низких уровнях этой структуры. Например, при построении геометрии, в зависимости от того, рассматривается ли 5-тый постулат в форме Евклида или в форме Лобачевского, получаем: либо хорошо известную «школьную» геометрию, либо – так называемую, геометрию Лобачевского.
___ Если при построении математической конструкции были соблюдены все правила математики, то она приобретает логическую устойчивость, композиционную целостность и завершенность. Поясним это несколько подробнее. Под устойчивостью в математике понимается следующее: если малому изменению одного или нескольких параметров соответствует малое изменение всей структуры, то говорят, что она устойчива по отношению к этим параметрам. Т.е., малые изменения параметров не должны вести к катастрофическим имениям в структуре. Например, при малом отклонении маятника от положения равновесия, он будет стремиться вернуться к этому положению. Если взять вертикальный стержень, закрепленный шарниром внизу, то малейшее отклонение от этого положения приведет к тому, что система начнет двигаться в направлении от положения равновесия и никогда туда не вернется. Т.о., верхнее положение маятника будет неустойчивым.
___Под композиционной целостностью и завершенностью мы понимаем, что для построения некоторой структуры в целом, необходимо построение каждого ее элемента. Причем сама по себе математическая структура, как объект, с точностью до символики и обозначений, является единственной. Так, если речь идет о множестве действительных чисел, то каким бы путем, в каких бы терминах не происходило изложение, это будет один и тот же математический объект – множество действительных чисел.

____III. Отметим еще одну характерную черту математики. По свидетельству многих ученых, все построения этой науки, ее структуры и конструкции обладают определенными эстетическими свойствами, то есть тем, что обычно называется «математической красотой». В геометрии, теории чисел, и в других областях можно привести много примеров, когда некоторые математические задачи были поставлены и решены не потому, что они могли принести какую-то немедленную практическую пользу, а только потому, что построение вытекало из внутренней логики теории, обобщало предыдущие результаты или просто потому, что казалось автору красивым. Например, используя комплексные числа и теорию функций комплексного переменного, можно привести «окончательную», то есть самую общую, формулировку, так называемой, Великой теоремы алгебры, согласно которой многочлен n-го порядка всегда имеет ровно n корней, включая и кратные.
___Можно привести и многочисленные примеры того, как полученные, на первый взгляд, бесполезные, но красивые результаты, в дальнейшем находили адекватное толкование для описания определенных природных и техногенных объектов и явлений. Например: сначала в абстрактной математической дисциплине – теории групп – были открыты группы преобразований определенного класса, и только позже, в кристаллографии, были описаны кристаллы, соответствующие указанным группам.

___IY. После того, как определенная математическая структура (математическая дисциплина) создана, можно, используя общие методы математики и аппарат данной дисциплины, как бы, перемещаться по ней в любую ее часть. Это позволяет подробнее «рассмотреть» взаимное расположение частей данной структуры и их строение. Получив информацию о подробностях строения той или иной части здания математики, совершенно не очевидных при закладывании основ данной дисциплины, и, используя соответствие математических понятий реальным объектам и явлениям, можно, в пределах допустимой точности, сделать выводы о строении или взаимном расположении соответствующих частей действительного мира, о течении и развитии реальных процессов и явлений. В этом и заключается непосредственная «польза» такой абстрактной науки, какой является математика. Однако, несомненно, что кроме «презренной пользы» математика несет в себе и определенный философский аспект. Дело в том, что она из тех проявлений человеческого духа (в том же ряду – религия, искусство), которые пытаются объять мир в целом, всю глубину и все стороны бытия.
___ Современная математика характеризуется, прежде всего тем, что быстро увеличивается общий объем математического знания, значительно разветвляется и усложняется его структура, усиливаются влияние и взаимопроникновение отдельных математических дисциплин друг в друга, ужесточаются требования к строгости доказательств и определению основ математических дисциплин. Кроме того, расширяются области приложения математики к другим отраслям науки и техники.

______Подводя итоги вышесказаннного на языке архитектуры, можно сказать, что математика – это грандиозное мысленное сооружение, которое в свернутом, понятийном, символьном виде моделирует окружающий нас мир и происходящие в нем явления. Фундамент этого сооружения образуют неопределяемые понятия, а «тектоника» определяется теми логическими связями, которые вводятся (постулируются) между этими понятиями (см. ИЛЛЮСТРАЦИИ). Все сооружение красиво, гармонично и целесообразно, как в целом, так и в любой своей части. И, хотя на каждый момент построения оно обладает тем, что мы называем завершенностью и целостностью, ввиду неисчерпаемости окружающего мира ни в большом, ни в малом, его возведение (мысленные построения) всегда можно продолжить, не нарушая при этом гармонии ни в общем, ни в частном.

___Y. Чтобы пользоваться математическими знаниями, накопленные цивилизацией, нет необходимости знать всю математику, держать в памяти все эти сотни тысяч понятий, формул и теорем, что, в принципе, невозможно! Нужно только владеть определенной математической культурой, под которой мы понимаем способность человека ставить и решать математические задачи, не испытывая при этом отрицательных эмоций, а, по возможности, – получая удовольствие.
___Действительно, чтобы наслаждаться произведениями искусства, достаточно обладать определенным воспитанием, образованием и вкусом. И все эти черты человек может в себе выработать. Так же обстоит дело и с математикой! Изучив её основыи и преодолев психологические барьеры, вы погружаетесь в пространство математики. Тем самым, вы получаете доступ в совершенно особый мир. Этот мир обладает своеобразной математической красотой, и полностью отражает окружающую нас реальность. И в то же время он совершенно приспособлен к человеческому мышлению, так как выстроен по его законам. Поэтому он способен выразить все тончайшие нюансы и непредсказуемые изгибы любых природных и техногенных объектов и явлений – даже те, которые мы непосредственно не наблюдаем и о которых мы можем даже и не подозревать.

________________________(Продолжение на след стр.6 -- ссылки вверху стр.)